Función Inversa
Introducción
Condiciones de inyectividad, criterios de la derivada para funciones inversas y simetría axial.
La función inversa 'deshace' el efecto de la función original. Gráficamente, corresponde a una reflexión respecto a la recta $y=x$. En cálculo diferencial e integral, nos interesa determinar cuándo existe esta inversa y cómo calcular sus propiedades (como su derivada) sin necesidad de hallar explícitamente su regla de correspondencia algebraica.
Objetivos de aprendizaje
- Verificar que una función es inyectiva analizando el signo de su primera derivada.
- Entender la relación de simetría $f(a) = b \implies f^{-1}(b) = a$.
- Aplicar el teorema de la derivada de la función inversa.
Desarrollo Teórico
Una función tiene inversa si es biyectiva. Un método de cálculo para asegurar la inyectividad es verificar si la función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece). Si $f'(x) > 0$ o $f'(x) < 0$ en todo su dominio, entonces su inversa $f^{-1}(x)$ existe.
El teorema de la derivada de la función inversa establece que $(f^{-1})'(b) = 1 / f'(a)$, asumiendo que $f(a) = b$ y $f'(a) \neq 0$. Esto significa que las pendientes en puntos correspondientes son recíprocas.
Fórmulas Fundamentales
Significado: Derivada de la función inversa en $x=b$, donde $f(a) = b$.
Condiciones: $f'(a) \neq 0$ y $f(x)$ debe ser diferenciable e inyectiva.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1
$$\text{Sea } f(x) = x^3 + 2x - 1. \text{ Demuestre que } f \text{ tiene inversa y calcule } (f^{-1})'(2).$$
Análisis: Primero usaremos la derivada $f'(x)$ para verificar que la función es creciente en todo punto. Luego, hallaremos el valor $a$ tal que $f(a) = 2$ para aplicar la fórmula de la derivada de la inversa.
Desarrollo paso a paso:
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$$f'(x) = 3x^2 + 2$$Derivamos la función original.
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$$3x^2 \ge 0 \implies 3x^2 + 2 > 0 \text{ para todo } x \in \mathbb{R}.$$Como la derivada siempre es positiva, $f(x)$ es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva (tiene inversa).
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$$f(a) = 2 \implies a^3 + 2a - 1 = 2 \implies a^3 + 2a - 3 = 0$$Planteamos la ecuación para encontrar el valor original $a$ que produce $b=2$.
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$$\text{Por inspección, } a = 1, \text{ ya que } 1^3 + 2(1) - 1 = 2.$$Encontramos $a=1$. Esto nos dice que $f(1) = 2$ y $f^{-1}(2) = 1$.
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$$f'(1) = 3(1)^2 + 2 = 5$$Evaluamos la derivada original en $x=1$.
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$$(f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{5}$$Aplicamos el teorema de la derivada de la inversa.
Errores Frecuentes
⚠️ Confundir la función inversa $f^{-1}(x)$ con la función recíproca $1/f(x)$.
Por qué es incorrecto: La notación $f^{-1}$ utiliza un $-1$ como superíndice, lo que algebraicamente significa exponente negativo, pero en notación de funciones indica función inversa.
Corrección: Usa $(f(x))^{-1}$ para referirte a la recíproca. El teorema trata sobre la inversa, no sobre el exponente.
¿Listo para practicar?
Aplica lo que aprendiste sobre Función Inversa y suma puntos para subir de rango.