Longitud de arco de una curva plana

Introducción

Determinación de la longitud exacta de una trayectoria continua diferenciable en un intervalo dado.

La fórmula de longitud de arco nos permite 'enderezar' una curva analíticamente y medirla. Este concepto es fundamental en la física e ingeniería para medir cables, trayectorias de partículas, y calcular el trabajo a lo largo de un camino curvo.

Conocimientos previos necesarios: Regla de la cadena para derivadas, manipulación algebraica (completar cuadrados, binomios) e integración por sustitución.

Objetivos de aprendizaje

  • Derivar la función $y = f(x)$ respecto a la variable independiente.
  • Plantear la integral $L = \int \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$.
  • Simplificar el integrando, a menudo utilizando trinomios cuadrados perfectos para eliminar la raíz cuadrada.

Desarrollo Teórico

Basados en el Teorema de Pitágoras, pequeños segmentos de curva se aproximan como hipotenusas de triángulos rectángulos: $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2}$. Factorizando $dx$, obtenemos $ds = \sqrt{1 + (dy/dx)^2} dx$.

Integrar esta expresión a lo largo del intervalo $[a, b]$ suma las longitudes de todos los segmentos diferenciales, entregando la longitud exacta de la curva.

Fórmulas Fundamentales

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx$$

Significado: Longitud de una curva de $x=a$ a $x=b$.

Condiciones: La derivada $dy/dx$ debe ser continua en $[a, b]$.

Ejemplos Resueltos

Avanzado
Ejemplo 1

$$\text{Encontrar la longitud de arco de la curva } y = \frac{2}{3}x^{3/2} \text{ en el intervalo } [0, 1].$$

Análisis: Debemos derivar la función, elevarla al cuadrado, sumarle 1, y luego calcular su integral definida con la raíz cuadrada.

Desarrollo paso a paso:
  • $$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = x^{1/2} = \sqrt{x}$$
    Aplicamos la regla de la potencia para derivar.
  • $$[f'(x)]^2 = (\sqrt{x})^2 = x$$
    Elevamos la derivada al cuadrado.
  • $$L = \int_0^1 \sqrt{1 + x} \, dx$$
    Planteamos la integral usando la fórmula de longitud de arco.
  • $$u = 1 + x \implies du = dx; \quad \int u^{1/2} \, du = \frac{2}{3}u^{3/2}$$
    Resolvemos la integral con una sustitución simple.
  • $$L = \left[ \frac{2}{3}(1 + x)^{3/2} \right]_0^1 = \frac{2}{3}(2^{3/2}) - \frac{2}{3}(1^{3/2}) = \frac{2}{3}(2\sqrt{2} - 1)$$
    Evaluamos en los límites y simplificamos.
Errores Frecuentes

⚠️ Quitar la raíz cuadrada directamente como si fuera distributiva: $\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \neq 1 + f'(x)$.

Por qué es incorrecto: Falta de bases en álgebra elemental sobre radicales.

Corrección: La raíz no se distribuye en las sumas. Se debe integrar mediante un método apropiado (sustitución de variables) o lograr un trinomio cuadrado perfecto.

¿Listo para practicar?

Aplica lo que aprendiste sobre Longitud de arco de una curva plana y suma puntos para subir de rango.

🏆

Generar Ejercicio