Teorema fundamental del cálculo
Introducción
Demostración y aplicación de las dos partes del teorema que vinculan la diferenciación con la integración.
Durante siglos, el problema de las tangentes (cálculo diferencial) y el problema del área (cálculo integral) se consideraron áreas de estudio matemáticas completamente independientes. Fue el descubrimiento del Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz lo que demostró que la diferenciación y la integración son operaciones inversas. Este resultado constituye la piedra angular de todo el análisis matemático moderno.
Objetivos de aprendizaje
- Comprender la formulación y la interpretación geométrica del Primer Teorema Fundamental del Cálculo.
- Derivar funciones definidas mediante integrales con límites variables $g(x) = \int_a^{h(x)} f(t)dt$ aplicando la regla de la cadena.
- Aplicar el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar integrales definidas exactas utilizando antiderivadas.
- Diferenciar entre el uso del Teorema Fundamental y las aproximaciones numéricas o por sumas de Riemann.
Desarrollo Teórico
El **Primer Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 1)** establece que si $f$ es una función continua en $[a, b]$, la función acumulativa $g(x) = \int_a^x f(t) dt$ es continua en $[a, b]$, diferenciable en $(a, b)$ y cumple exactamente que $g'(x) = \frac{d}{dx}\left[ \int_a^x f(t) dt \right] = f(x)$. En palabras sencillas: la derivada de la integral acumulada de una función es la función original.
Geométricamente, $g(x)$ mide el área bajo $f$ desde un punto fijo $a$ hasta un borde móvil $x$. Si desplazamos el borde móvil una pequeña cantidad $\Delta x$, el cambio en el área $\Delta g$ es aproximadamente el área de una franja rectangular de base $\Delta x$ y altura $f(x)$. Dividiendo entre $\Delta x$ y tomando el límite cuando $\Delta x \to 0$, obtenemos la tasa instantánea de cambio del área, que es $f(x)$.
El **Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 2)**, conocido como el Teorema de Evaluación, indica que si $f$ es continua en $[a, b]$ y $F$ es cualquier antiderivada de $f$ (es decir, $F'(x) = f(x)$), entonces: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. Esto evita la necesidad de calcular límites infinitos de sumas de Riemann para hallar áreas exactas.
Para aplicar el FTC 2 correctamente, es indispensable que el integrando $f(x)$ sea **continuo en todo el intervalo cerrado $[a, b]$**. Si la función presenta discontinuidades infinitas o saltos en $[a, b]$, el teorema NO es directamente aplicable y la integral debe abordarse como una integral impropia.
Fórmulas Fundamentales
Significado: Primer Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 1).
Condiciones: $f$ debe ser continua en el intervalo que contiene a $a$ y a $x$.
Significado: Generalización del FTC 1 combinada con la Regla de la Cadena para límites variables de integración.
Condiciones: $f$ continua; $g(x)$ y $h(x)$ funciones diferenciables.
Significado: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 2 o Teorema de Evaluación).
Condiciones: $f$ continua en $[a, b]$; $F'(x) = f(x)$ en $[a, b]$.
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1
$$\text{Encontrar la derivada de la función: } g(x) = \int_2^x (t^3 - 4t + 1) \, dt$$
Análisis: Aplicamos directamente el Primer Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 1) puesto que el límite inferior es una constante y el límite superior es la variable $x$.
Desarrollo paso a paso:
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$$g'(x) = \frac{d}{dx} \left[ \int_2^x (t^3 - 4t + 1) \, dt \right]$$Planteamos la derivación respecto a x.
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$$g'(x) = x^3 - 4x + 1$$Por el FTC 1, simplemente reemplazamos la variable t de integración por x.
Ejemplo 2
$$\text{Calcular } h'(x) \text{ si } h(x) = \int_1^{x^2} \cos(t) \, dt$$
Análisis: El límite superior de integración es una función compuesta $u(x) = x^2$. Debemos combinar el FTC 1 con la Regla de la Cadena.
Desarrollo paso a paso:
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$$h'(x) = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}[x^2]$$Evaluamos el integrando en el límite superior y multiplicamos por la derivada de dicho límite.
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$$h'(x) = \cos(x^2) \cdot (2x) = 2x\cos(x^2)$$Calculamos la derivada $2x$ y ordenamos los factores.
Ejemplo 3
$$\text{Evaluar la integral definida exacta: } \int_1^3 (3x^2 - 2x + 5) \, dx$$
Análisis: Utilizaremos el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo (FTC 2). Primero hallamos la antiderivada general $F(x)$ y luego calculamos $F(3) - F(1)$.
Desarrollo paso a paso:
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$$F(x) = \int (3x^2 - 2x + 5) \, dx = x^3 - x^2 + 5x$$Obtenemos la antiderivada (no se requiere +C en integrales definidas).
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$$F(3) = (3)^3 - (3)^2 + 5(3) = 27 - 9 + 15 = 33$$Evaluamos la antiderivada en el límite superior b = 3.
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$$F(1) = (1)^3 - (1)^2 + 5(1) = 1 - 1 + 5 = 5$$Evaluamos la antiderivada en el límite inferior a = 1.
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$$\int_1^3 (3x^2 - 2x + 5) \, dx = F(3) - F(1) = 33 - 5 = 28$$Restamos $F(b) - F(a)$ según lo establece el FTC 2.
Errores Frecuentes
⚠️ Aplicar el FTC 2 en un intervalo que contiene una discontinuidad (por ejemplo, una asíntota vertical).
Por qué es incorrecto: Evaluar $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} dx = [-1/x]_{-1}^1 = -1 - (1) = -2$, ignorando que $1/x^2$ no es continua en $x=0$.
Corrección: Verificar siempre la continuidad del integrando en el intervalo $[a, b]$. Si tiene una asíntota, debe tratarse como integral impropia.
⚠️ Olvidar la regla de la cadena cuando el límite de integración es una función distinta a $x$.
Por qué es incorrecto: Escribir $\frac{d}{dx} \int_0^{x^3} \sin(t) dt = \sin(x^3)$, omitiendo la derivada del límite superior.
Corrección: Multiplicar siempre por la derivada del límite superior: $\sin(x^3) \cdot (3x^2)$.
¿Listo para practicar?
Aplica lo que aprendiste sobre Teorema fundamental del cálculo y suma puntos para subir de rango.